Write out the Cayley table for Sym(3), Dih(8), and the quaternion group

 

Write out the group tables for $S_3$, $D_8$, and $Q_8$.


Solution:

Group table for $S_3$:

1 (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
1 1 (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
(1 2) (1 2) 1 (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3)
(1 3) (1 3) (1 3 2) 1 (1 2 3) (2 3) (1 2)
(2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) 1 (1 2) (1 3)
(1 2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) 1
(1 3 2) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) 1 (1 2 3)

Group table for $D_8$:

$1$ $r$ $r^2$ $r^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$
$1$ $1$ $r$ $r^2$ $r^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$
$r$ $r$ $r^2$ $r^3$ $1$ $sr^3$ $s$ $sr$ $sr^2$
$r^2$ $r^2$ $r^3$ $1$ $r$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $sr$
$r^3$ $r^3$ $1$ $r$ $r^2$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $s$
$s$ $s$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $1$ $r$ $r^2$ $r^3$
$sr$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $r^3$ $1$ $r$ $r^2$
$sr^2$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $sr$ $r^2$ $r^3$ $1$ $r$
$sr^3$ $sr^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $r$ $r^2$ $r^3$ $1$

Group table for $Q_8$:

$1$ $-1$ $i$ $-i$ $j$ $-j$ $k$ $-k$
$1$ $1$ $-1$ $i$ $-i$ $j$ $-j$ $k$ $-k$
$-1$ $-1$ $1$ $-i$ $i$ $-j$ $j$ $-k$ $k$
$i$ $i$ $-i$ $-1$ $1$ $k$ $-k$ $-j$ $j$
$-i$ $-i$ $i$ $1$ $-1$ $-k$ $k$ $j$ $-j$
$j$ $j$ $-j$ $-k$ $k$ $-1$ $1$ $i$ $-i$
$-j$ $-j$ $j$ $k$ $-k$ $1$ $-1$ $-i$ $i$
$k$ $k$ $-k$ $j$ $-j$ $-i$ $i$ $-1$ $1$
$-k$ $-k$ $k$ $-j$ $j$ $i$ $-i$ $1$ $-1$

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