# Write out the Cayley table for Sym(3), Dih(8), and the quaternion group

Write out the group tables for $S_3$, $D_8$, and $Q_8$.

Solution:

Group table for $S_3$:

 1 (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) 1 1 (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 2) 1 (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 3) (1 3) (1 3 2) 1 (1 2 3) (2 3) (1 2) (2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) 1 (1 2) (1 3) (1 2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) 1 (1 3 2) (1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) 1 (1 2 3)

Group table for $D_8$:

 $1$ $r$ $r^2$ $r^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $1$ $1$ $r$ $r^2$ $r^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $r$ $r$ $r^2$ $r^3$ $1$ $sr^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $r^2$ $r^2$ $r^3$ $1$ $r$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $sr$ $r^3$ $r^3$ $1$ $r$ $r^2$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $s$ $s$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $1$ $r$ $r^2$ $r^3$ $sr$ $sr$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $r^3$ $1$ $r$ $r^2$ $sr^2$ $sr^2$ $sr^3$ $s$ $sr$ $r^2$ $r^3$ $1$ $r$ $sr^3$ $sr^3$ $s$ $sr$ $sr^2$ $r$ $r^2$ $r^3$ $1$

Group table for $Q_8$:

 $1$ $-1$ $i$ $-i$ $j$ $-j$ $k$ $-k$ $1$ $1$ $-1$ $i$ $-i$ $j$ $-j$ $k$ $-k$ $-1$ $-1$ $1$ $-i$ $i$ $-j$ $j$ $-k$ $k$ $i$ $i$ $-i$ $-1$ $1$ $k$ $-k$ $-j$ $j$ $-i$ $-i$ $i$ $1$ $-1$ $-k$ $k$ $j$ $-j$ $j$ $j$ $-j$ $-k$ $k$ $-1$ $1$ $i$ $-i$ $-j$ $-j$ $j$ $k$ $-k$ $1$ $-1$ $-i$ $i$ $k$ $k$ $-k$ $j$ $-j$ $-i$ $i$ $-1$ $1$ $-k$ $-k$ $k$ $-j$ $j$ $i$ $-i$ $1$ $-1$

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